※ 引述《shinshark (鲨鱼)》之铭言： : 大家好～有一题ODE想请教 希望高手帮忙指点 : 2 : (sinycosy + xcos y)dx+xdy=0 : 我一开始判断是否为exact : 可是我求出来的积分因子好像有点怪 : 然後我用一阶线性的式子去判别 : 好像也不是一阶线性的题型 : 能否请大家指点一下该怎麽判别 : 希望好心的高手能顺便给予解题过程 感谢 这题是用exact去做没错~ 2 (sinycosy + xcos y)dx+xdy=0...(1) 2 令M=sinycosy + xcos y N=x 假设@为偏微分之符号~ @M 2 2 ─ = cosy*cosy+siny(-siny)+2xcosy(-siny) = cos y-sin y-2xcosysiny @y @N ─ = 1 @x @M @N ─ ≠ ─ @y @x 2 2 2 @M @N cos y-sin y-2xcosysiny-1 -2sin y-2xcosysiny [─ - ─]/M = ──────────── = ───────── @y @x 2 2 sinycosy + xcos y sinycosy + xcos y 2 2 (1=cos y+sin y代入) -2siny(siny+xcosy) = ────────── = -2tany = -g(y) cosy(siny+xcosy) 所以g(y)=2tany 2 ∫2tanydy 2ln│secy│ ln(│secy│) 2 I.F.= e = e = e = sec y 2 (1)式两边乘以sec y得 2 2 2 sec y(sinycosy + xcos y)dx+xsec ydy=0 2 (tany+x)dx + xsec ydy = 0此式必为exact 令Ma=tany+x 2 Na=xsec y @ψ 所以存在ψ(x,y)使得 ─ = Ma @x 1 2 ψ(x,y) =∫Ma dx = ∫tany+x dx =xtany + ─ x + h(y) 2 将上式对y偏微分得 @ψ 2 2 ─ = xsec y + h'(y)= Na = xsec y @y 所以h'(y)=0 ,h(y)=c_1,c_1为常数 1 2 所以ψ(x,y)=xtany + ─ x + c_1 2 1 2 所求为 xtany + ─ x = c 2 --

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