※ 引述《dtaya (阿光)》之铭言： : 97年中兴机械的第一题 : x^2y''+xy'+y=sec(lnx) : 请问一下这一题的特解要如何求解？ : 可令x=e^t最後做到 : 1 : yp=------(sect) 然後接着该如何求解？ : D^2+1 : 刚刚翻了一下参考书 上面写了逆算子这样的步骤 : 1 : yp=------(sect) =sint∫costsect dt-cost∫sint sectdt(其实不太明白怎麽来的) : D^2+1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : =tsint+costln(cost)=ln(x)sin(lnx)+cos(lnx)lncos(lnx) 即使你不知道如何用逆运算子现有的工具去推论 可以回想当初你是如何算特解: 假设 二阶O.D.E. y'' + y = f(t) 已知两齐性解 sint、 cost 令特解为 yp(t) = u(t)*sint + v(t)*cost 所以 ┌ sint cost ┐┌ u'(t) ┐ ┌ 0 ┐ │ ││ │ = │ │ └ cost -sint ┘└ v'(t) ┘ └ f(t) ┘ ┌ u'(t) ┐ ┌ sint cost ┐┌ 0 ┐ → │ │ = │ ││ │ └ v'(t) ┘ └ cost -sint ┘└ f(t) ┘ ┌ f(t)*cost ┐ = │ │ └ -f(t)*sint ┘ ┌ u(t) ┐ ┌ ∫ f(t)*cost dt ┐ → │ │ = │ │ └ v(t) ┘ └ -∫ f(t)*sint dt ┘ 因此 yp(t) = u(t)*sint + v(t)*cost = (sint)∫ f(t)*cost dt - (cost)∫ f(t)*sint dt ____(1) 套用逆运算子的定义: (D^2 + 1)y = f(t) 1 → yp ≡ ──── f(t) D^2 + 1 = (sint)∫ f(t)*cost dt - (cost)∫ f(t)*sint dt by (1) ------------------------------------------------------------------------------ 对学工数的人来说 逆运算子的整个基本原理与计算 都是架构在 以前您所熟知解 yp 的方法 所以当遇到 逆运算子算不下去的窘境 切记请回到 Method of Undetermined Coefficients 与 Variation of Parameters 去解 yp 希望有解释到你的疑惑 ︿︿ --

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