※ 引述《DANNY751130 (大头)》之铭言： : 喻老讲义812页 第4题 : 2拍 dx : 题目 S -------------- : 0 cosx+2sinx+3 : 化简到一半会卡住(卡在喻老解答第2行到第3行) : 请大家帮帮忙让我知道问题出在哪 : 谢谢 2π dx ∫ ───────── 0 cosx + 2sinx + 3 ix ix Let z = e , dz = ie dx , dx=dz/iz 积分范围 c 为在复数平面上以原点为圆心 , 半径1之圆 ix -ix ix -ix cosx = (e + e )/2 = (z+1/z)/2 , sinx = (e - e )/2i = (z-1/z)/2i 代回得 dz/iz ∮ ─────────────── c (z+1/z)/2 + 2(z-1/z)/2i + 3 2dz =∮ ────────────── (分子分母同乘 2iz) c iz(z+1/z) + 2z(z-1/z) + 6iz 2dz =∮ ───────────── c (2+i)z^2 + 6iz + (-2+i) 代1元2次方程式公式解求 分母=0 : -6i ±√[(6i)^2-4(2+i)(-2+i)] z = ──────────────── 2(2+i) (-6i ±4i)(2-i) = ──────── (分子分母同乘 2-i , 先算根号项) 2(2+i)(2-i) -10i(2-i) z1 = ────── = -2i-1 10 -2i(2-i) z2 = ───── = (-2i-1)/5 10 分母可改为 (2+i)(z-z1)(z-z2) : 2dz ∮ ──────────—─── = ∮ f(z)dz c (2+i)(z+2i+1)[z+(2i+1)/5] c 因 |z1| = √5 , |z2| = 1/√5 , 只有 z2 在闭积分范围内: 2 2 Res f(z2) = lim ─────── = ───────── z→z2 (2+i)(z+2i+1) (2+i)(4/5)(2i+1) 2 1 = ───── = ── (4/5)(5i) 2i ∮ f(z)dz = 2πi Res f(z2) = π c --

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