※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之铭言： : 1. : 2 2 1 : t z'' + tz' + (t - ---)z = 0 4 这到写出Bessel通解不难， 你可以写出J.Y的解 也就是第一类bessel函数与第二类bessel函数 但如果你要尻成sin cos的样子 就必须用第一类bessel单一写出 补充：当年Bessel解Bessel eq的时候，只解了大根就坐船跑了， （大家试看看带大根进去解看看，解第二类太难） 当时他只解了第一类bessel 而第一类bessel的阶数是整数的时候有问题 因为这样不能写成两个线性独立的解 於是後来Neumann就帮忙解了第二类後来就称为Y or N 所以你可以写出 z= c1 J (t)+ c2 J (t) 1/2 -1/2 根据某年交大光电的考题 我先把结论写上来 我这边习惯写x 大家知道是t就好 J (x) = (2/πx)^1/2 sinx 1/2 J (x) = (2/πx)^1/2 cosx -1/2 数学：大家可以把第一类bessel的震动想成是 sinx cosx 具有衰减的震幅 而且Jν(X)在0处是finite 这边在解边界值问题很好用， 你就知道为什麽常常没看到Y 因为它在0时是-infinite 接下来要解这个必须要背J的定义才可以 J (x)= sum(n=0到无限大) （-1)^n (x/2)^(2n+1/2) / n!Γ(n+1+1/2) 1/2 接下来有点难打 所以我提供怎麽凑就好 因为真的有点难打 请大家见谅 step1 由於你要证明的答案有 根号2 所以你上下同乘 (2)^1/2 (x)^1/2 你把分子的根号2放出去 分母的根号x也给他放出去 留下只有分母的根号2跟分子的x step2 分母的Γ(n+3/2)写成Γ((2n+3)/2) 然後把Γ打开吧 Γ((2n+3)/2)= (2n+1)/2 * (2n-1)/2 * .......* 1/2 Γ(1/2) 从1/2数到 (2n+1)/2 总共有 n+1项 然後Γ(1/2)=(π)^1/2 step3 分子还记不记得有个(x/2)^(2n+1/2) 跟 step1 留下的(x/2)^1/2 合成为(x/2)^(2n+1) 你把x与1/2个别放在分子跟分母 於是分母就有个 2^(2n+1) 帅吧 总共有2n+1个2 你可以拆成两份 一份给刚刚Γ弄出来的那堆东西 拆给他们n+1项 等於刚刚那个(2n+1)/2 * (2n-1)/2 * .......* 1/2变成 (2n+1)(2n-1)(2n-3)...1 剩下n个2就给分母的n!就变成 2n (2n-2)(2n-4).....2 整个分母就凑完了 该收尾了 step4 分母： 刚刚分母那一堆东西就可以变成(2n+1)!Γ(1/2) 将Γ(1/2)=(π)^1/2 弄出去吧 分子： 分子留下(-1)^2 还有x^(2n+1) sum里面有没有看到熟悉的sinx 的maclaurin级数的长相 sun外面有step1留下的东西 所以J (x)= (2/πx)^1/2 sinx 1/2 J (x)的作法一样 你也是差不多的方式凑一凑就可以尻出cosx出来 -1/2 tip:如果你有背cosx与sinx的Maclaurin级数 中间就可以拉一喇 方便你更容易弄出来 回到原题 大家记得变数是t 於是 z= c1 (2/πt)^1/2 sint + c2 2/πt)^1/2 cost 有常数(2/π)^1/2与c1合成为=c1* (2/π)^1/2与c2合成为=c2* 所以 z= c1* (1/t)^1/2 sint +c2* (1/t)^1/2 cost --

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