作者iyenn (晓风)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [线代]-正负定
时间Thu Sep 24 20:35:07 2009
※ 引述《delta1116 (叠欧塔<(￣︶￣)/)》之铭言：
: 一题证明题
: T
: A为n*n矩阵 A可逆 <==> A A 为正定
: 证明如下
: A为可逆 故N(A) = {0}
: T T n
: 令f = X (A A) X 对於所有 X 属於 R X =\= 0
: 2
: 可得f = || AX ||
: 因为 X 不属於 N(A)
: 即 AX =\= 0
: 2 T
: 故 f = || AX || > 0 f为正定 得 A A 为正定
: ----------------------------------------------
: 以上是解答写的
: 我现在的问题是
: T
: 题目不是应该要从"A可逆" 推到 " A A "为正定吗
: 既然A可逆
: 那 X 不就应该要是0 ( 因为N(A) = {0} )
: 可是中间的 X 又不能等於0
: 这两者不就矛盾了吗
: 想了好久还是想不通
: 希望有人可以说明一下
1.由A^-1出发
已经A^-1存在 故 A不存在0特徵值
令Ax=λx λ为A之特徵值(亦为A^T之特徵)
则A^TAx=A^Tλx=λ^2x
可知A^TA之特徵恒正
2.由A^TA正定出发
A^TA正定故所有特徵值>0
即det(A^TA)=/=0
A可逆
我会这样想耶 0,0
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1F：推 delta1116:不错的想法~感恩 09/24 20:43
2F：推 yesa315:满特别的 推一个 09/24 20:47