※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之铭言： : 1. : 2 2 : x y'' + 6xy' + (6-x )y = 0 用 Frobenius 级数解.. : 答案是 : -3 -3 : y = c1 x sinhx + c2 x coshx : 可是我算是 : -2 -3 : y = c1 x sinx + c2 x cosx : 有人可以帮我验证一下吗 2 2 x y" + 6xy' + (6 - x )y = 0 ∞ r+n ∞ r+n-1 ∞ r+n-2 Let y = ΣCn x , y' = ΣCn(r+n)x , y" = ΣCn(r+n)(r+n-1)x n=0 n=0 n=0 代入得 ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n+2 ΣCn(r+n)(r+n-1)x + Σ6Cn(r+n)x + Σ6Cn x - ΣCn x = 0 n=0 n=0 n=0 n=0 整理後得 ∞ r+n ∞ r+n ΣCn[(r+n)(r+n-1)+6(r+n)+6]x - ΣCn-2 x = 0 n=0 n=2 当n=0: 2 C0(r +5r+6) = C0(r+2)(r+3) = 0 , 若C0≠0 , 得 r = -3 or -2 当n=1: 2 C1(r +7r+12) = C1(r+3)(r+4) = 0 , 若C1≠0 , 得 r = -4 or -3 二阶ODE的通解应有两个待定系数(C0≠0 , C1≠0) 故取r解的交集可得r=-3 当n≧2:(r=-3代入) 1 1 1 Cn = --------------------- Cn-2 = ------- Cn-2 = -------- Cn-2 (n-3)(n-4)+6(n-3)+6 2 n(n-1) n - n 1 = --- C0 n! ∞ r+n 代入 y = ΣCn x 可得 n=0 -3 ∞ 1 n ∞ 1 n y = x ( Σ C1 --- x + Σ C0 --- x ) n=1,3… n! n=2,4… n! 答案写这样就行了 -3 要写成 y = x ( C1 sinhx + C0 coshx ) 也可以 : 如果考试 不转换成 sinx cosx 之类的 会被扣分吗.. 主要就是说除非题目明讲只要写前几项就好 不然幂级数的系数若有规律就要归纳 归纳之後有些就是常见函数的展开式 就可以顺便把他换掉啦 不过换不换都是可以的 : 2. : 2 2 : x y'' + x y' - 2y = 0 : 这题 过程有问题 : r=-1 : r= 2 : -(n+r-1) C : Cn = ----------------- n-1 : [(n+r)(n+r-1)-2] : -r : C1 = ---------- C0 : (r+2)(r-1) : (r+1) : C2 = ----------------- C0 : (r+3)(r+2)(r-1) : -1 (r+1) : C3 = --------------------- C0 : (r+4)(r+3)(r-1)(r+1) : 当用-1 带入 : C3 (r+1) 我销掉後 答案会不一样.. : 因为 C3 = 芭拉巴拉 * C2 : 但是C2 = 0 因为r = -1 or 2 所以 r= -1 代入算到第 2-(-1) = 3 项 也就是C2时 会等於0 -(n+r-1) 事实上在列 Cn = ------------------ Cn-1 时 [(n+r)(n+r-1)-2] 有个前提就是分母≠0 假如不用除的 而是直接列出来的话 [(n-1)(n-2)-2]Cn = -(n-2)Cn-1 当n=2 -2 C2 = 0 C1 = 0 当n=3 0 C3 = C2 = 0 表示说C3是任意数 从C3之後就是一个跟前段无关的解 再继续代下去就可以得到另一个有待定系数(C3)的解了 : 所以之後都 = 0 : 但是销掉 (r+1) 就不会等於0 答案也就不一样 : 这时候怎麽办..? --

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