作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-二阶变系数ode
时间Fri Aug 28 17:21:44 2009
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之铭言：
: 但是我写写真密集题目
: 遇到一题 xy'' +2(x-1)y' + (x-2)y = 0
: mx
: 是 try y = e
: n
: 用 y = cx
: 做不出来也
...
原文吃光光
看不懂您想问啥 ...
不过解2阶非线性的 O.D.E. (并非指此题是 non-linear)
可以提供你一个方法：
define D = d/dx
then xy'' +2(x-1)y' + (x-2)y = 0
→ [xD^2 + 2(x-1)D + (x-2)]y = 0
→ (xD + x-2)(D + 1)y = 0
令 u(x) = (D + 1)y = y' + y
则原题目可变成解以下联立方成组：
xu' + (x-2)u = 0 _____(1)
u = y' + y _____(2)
from (1) : 1/u du = (2/x - 1) dx
→ ln|u| = 2ln|x| - x + ln(C1)
or u = C1*x^2*e^(-x)
from (2) and by (1) :
C1*x^2*e^(-x) = y' + y
→ y*e^x = ∫C1*x^2 dx
= C1*x^3/3 + C2
or y = C3*x^3*e^(-x) + C2*e^(-x) where C3 = C1/3
ps: 若 xy'' +2(x-1)y' + (x-2)y = f(x) 也能这样解
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◆ From: 140.113.141.151
※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.141.151 (08/28 17:29)
1F：推 iyenn:推一下这种方法~ 08/28 17:30
2F：推 youmehim:因式分解高招! 08/28 20:16
3F：→ mdpming:堆堆~~113..=.=....我也想要 08/28 22:24
4F：→ kwei1027:这是线性的ODE...不是非线性的吧 08/28 23:45
5F：推 CRAZYAWIND:这是二阶变系数线性ODE 08/28 23:55
6F：→ doom8199:我那句话原本的意思是 2阶非线性O.D.E.可以这样解 08/28 23:59
7F：→ doom8199:并非指原po问的 eq. 是non-linear 08/29 00:00
8F：→ doom8199:不过我这样看也觉得会被误解 XD 修一下好了~~ 08/29 00:01
9F：→ doom8199:另外我一开始 po 文时发现我解出来的 sol. 是non-linear 08/29 00:08
10F：→ doom8199:所以才很快就找出我哪里算错了 XD 08/29 00:08
※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.141.151 (08/29 00:16)