作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-二阶常系数微分方程
时间Mon Jul 27 17:36:33 2009
※ 引述《l1560ccdd (战狗)》之铭言：
: 各位神大大好:
: 小弟有一题二阶ode解不出来 ...
: EX:
: y''+5y'= x(e^-x)sin(3x)
: 主要是想问特解的部份要怎麽下手? 我做出来答案不太一样
: 我的解法是先将指数往前移，然後D代(D-1)，之後再部份份式，
: 然後会拆两项，再分别对xsin(3x)去做 。
: 这题的答案是:
: 67 13 9 246
: y= c1+c2e^-5x +{[____ - ___ x]sin(3x) -[___x + _____]cos(3x) }
: 325 250 250 12500
: 题目的来源是 <93 成大制造>
: 谢谢各位了
---
解法很多种
小弟用变数系数法作:
<1> solve yc: y'' + 5y' = 0
→ yc = c1 + c2*e^(-5x)
<2> find yp:
set yp = u(x) + v(x)*e^(-5x)
then we can get :
u' + v'*e^(-5x) = 0 ____(1)
-5v'e^(-5x) = xe^(-x)sin(3x) ____(2)
by (1) 、 (2) → u' = 1/5 xe^(-x)sin(3x)
v' = -1/5 xe^(4x)sin(3x)
→ u = 1/50 *e^(-x)* [(-x + 4/5)sin(3x) + (-3x - 3/5)cos(3x)]
v = -1/125 *e^(4x)* [(4x - 7/25)sin(3x) + (-3x + 24/25)cos(3x)]
(choose int. const. = 0)
thus
yp = 1/50 *e^(-x)* [(-x + 4/5)sin(3x) + (-3x - 3/5)cos(3x)]
-1/125 *e^(-x)* [(4x - 7/25)sin(3x) + (-3x + 24/25)cos(3x)]
= e^(-x)*[(-13x/250 + 57/3250)sin(3x) + (-9x/250 - 123/6250)cos(3x)]
from <1> <2>
y = yc + yp
-5x -x -13 57 -9 -123
= c1 + c2*e + e [( ___ x + ____ )sin(3x) + ( ___ x + ____ )cos(3x)]
250 3250 250 6250
原po给的答案似乎有错 ～～
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.141.151 (07/27 17:37)
1F：推 l1560ccdd:答案没有错阿!! 我给的答案跟你解的是一样的 !! 谢谢 ! 07/27 18:59
2F：→ doom8199:...... 07/27 19:13
3F：→ xxvf:uv怎麽积 07/27 23:03
4F：→ doom8199:先算出 ∫e^(ax)*sin(bx) dx 、 ∫e^(ax)*cos(bx) dx 07/27 23:53
5F：→ doom8199:的积分，则 ∫xe^(ax)*sin(bx) dx 07/27 23:54
6F：→ doom8199:= x∫e^(ax)*sin(bx) dx - ∫ ∫e^(ax)*sin(bx) dx dx 07/27 23:55
7F：→ doom8199:不论是 4F 的哪个积分，都会有 e^(ax)*sin(bx) 07/27 23:56
8F：→ doom8199:与 e^(ax)*cos(bx) 的项，所以连套两次 4F的积分就出来了 07/27 23:57