2022/12/10 11:32 更新：已排除了溢位问题，抽数设定无限大应该都可以正常运行 ----------------------写在前面---------------------- 1. 本文含有大量数学算式，范围涵盖条件机率、二项式定理等数学观念。 若对数学有强烈过敏或排斥反应，建议直接END看结论或是左转离开。 2. 本文不含任何统计学观念，完全只有机率。 3. 本文不考虑任何因抽卡玄学带来的机率变动影响，也一概不讨论玄学对机率之影响。 4. 文末提供之工作表在使用上很简单，完全不知道这篇在讲什麽也可以快乐(?)使用。 5. 本文忽略保底影响。 6. 本文为了计算方便，会将抽卡行为理想化，请自行斟酌下修实际机率。 ---------------------------------------------------- 大家好，无聊的数学家又来荼毒......分享一些有趣东西给大家了 这件事情本来是一个单纯想法 「单抽中PU五星的机率是0.008，那是否1000抽就可期望抽中8只PU五星？」 「实际上，1000抽中8只以上PU五星的机率有多少？」 对於一个无课/福袋课玩家而言，石头是有限的。 一年从营运收到的免费石，可能是几百~一千多抽的程度。 那麽无课玩家就会想知道： 1. 假如我在一年内想抽到X个五星，用现有的抽数，是否太乐观了？ 2. 我总共有Y抽，在目前的卡池抽到我想要的角色的机率有多少？ 3. 一年过去了，我抽到了Z个五星，算是哪一个大洲的人？ 以下问题将会一一解答，并提供计算机，大家可以自己算。 (不想看数学的可以END了) ---------------------------------------------------- 一切问题从简单的范例开始。 假如我们用一个红白球箱子来模拟卡池。 箱子内有4个红球，1个白球。 抽中红球算中奖(真容易中奖)，抽完球放回箱中。 那麽抽中红球机率=4/5=0.8，抽中白球机率=1/5=0.2。 假如只抽1次，抽中红球机率自然就是0.8。 抽2次的话就开始有趣了，根据结果，会有四种情形： P(红红) = 0.8*0.8 = 0.64 P(红白) = 0.8*0.2 = 0.16 P(白红) = 0.2*0.8 = 0.16 P(白白) = 0.2*0.2 = 0.04 当然 0.64 + 0.16 + 0.16 + 0.04 = 1。 抽中两红的机率，是P(红红) = 0.64。 抽中两白的机率，是P(白白) = 0.04。 一红一白的机率，是P(红白)+P(白红)=0.16+0.16=0.32。 由於抽中顺序不影响其最终机率，所以通常会合并看待。 ---------------------------------------------------- 让我们用另一种观点来看待此事。 下面是一个简单的算式： (0.8+0.2)^2 我们当然知道这个答案是1，因为0.8+0.2=1， 且1不管自乘几次，答案都是1。 但是我们假如直接展开算式，就可以发现与上面的红白球机率对应： (0.8+0.2)^2 = 0.8*0.8 + 0.8*0.2 + 0.2*0.8 + 0.2*0.2 = 1。 而(0.8+0.2)^3的机率，也正好与抽样三次的情况对应： (0.8+0.2)^3 = 0.8*0.8*0.8 + 0.8*0.8*0.2 + 0.8*0.2*0.8 + 0.8*0.2*0.2 + 0.2*0.8*0.8 + 0.2*0.8*0.2 + 0.2*0.2*0.8 + 0.2*0.2*0.2 = P(红红红) + P(红红白) + P(红白红) + P(红白白) + P(白红红) + P(白红白) + P(白白红) + P(白白白) = 1。 於此可以类推，抽1000次的机率分布可以由 (0.8+0.2)^1000 展开得出。 可是单纯展开仍然无法减少我们的工作， 所以到了本文另一主角：二项式定理出场。 ---------------------------------------------------- 二项式定理 (x+y)^n 可以展开为 C(n,k)*x^k*y^(n-k) 的级数和。 碍於数学公式不好在批踢踢上打出来，直接引用wiki截图： https://i.imgur.com/zmirw96.png Ref: Wiki二项式定理条目 https://reurl.cc/10keeG 简单用上面的例子类推 (0.8+0.2)^3 = C(3,0)*(0.8)^3*(0.2)^0 + C(3,1)*(0.8)^2*(0.2)^1 + C(3,2)*(0.8)^1*(0.2)^2 + C(3,3)*(0.8)^0*(0.2)^3 = 1*(0.8)^3 + 3*(0.8)^2*(0.2) + 3*(0.8)*(0.2)^2 + 1*(0.2)^3 = 1*P(三红) + 3*P(两红) + 3*P(一红) + 1*P(无红) = 1。 那麽我们把中奖机率换成代数，当抽1000次时，就会变成 (不中+中)^1000 = C(1000,0)*P(不中) + C(1000,1)*P(中一个) + C(1000,2)*P(中两个) + C(1000,3)*P(中三个) + ... + C(1000,1000)*P(全中) 至此，准备工作完成。 ---------------------------------------------------- 回到原本问题 1000抽中8只以上PU五星的机率有多少？ 此机率可以看成 P(1000抽中8只以上PU五星) = 1 - P(1000抽中0~7只PU五星) = 1 - [ C(1000,0)*P(不中) + C(1000,1)*P(中一个) + C(1000,2)*P(中两个) + ... + C(1000,7)*P(中七个)] 至於 C(1000,N)*P(中N个) 怎麽算？ 假如1000抽中1个，表示另外999次都不中 机率就是 C(1000,1)*(抽中)^1*(不中)^999 中二就是 C(1000,2)*(抽中)^2*(不中)^998 中三就是 C(1000,3)*(抽中)^3*(不中)^997 ... 以此类推。 完整算式列一下 P(1000抽中8只以上PU五星) = 1 - P(1000抽中0~7只PU五星) = 1 - [ C(1000,0)*P(不中) + C(1000,1)*P(中一个) + C(1000,2)*P(中两个) + C(1000,3)*P(中三个) + C(1000,4)*P(中四个) + C(1000,5)*P(中五个) + C(1000,6)*P(中六个) + C(1000,7)*P(中七个)] = 1 - [ C(1000,0)*(抽中)^0*(不中)^1000 + C(1000,1)*(抽中)^1*(不中)^999 + C(1000,2)*(抽中)^2*(不中)^998 + C(1000,3)*(抽中)^3*(不中)^997 + C(1000,4)*(抽中)^4*(不中)^996 + C(1000,5)*(抽中)^5*(不中)^995 + C(1000,6)*(抽中)^6*(不中)^994 + C(1000,7)*(抽中)^7*(不中)^993] 再把实际机率: 抽中=0.008，不中=0.992 代入算式中 大功告成了，算式里面已经没有任何未知数了。 於是我们可以把以上过程编进Google工作表中， 然後填上中奖机率与抽数，得出想要的结果。 ---------------END请回到这里看结论--------------- 於是乎，经由工作表的努力，得出的结果如下图 https://i.imgur.com/VnQPWlM.png 查表可以得知 P(1000抽中8只以上PU五星) = 54.76%。 也就是说如果你的运气是排名前54.76%的玩家， 你在任何卡池加总丢1000抽，可以得到8只以上的PU五星。 (一半以上的玩家可以期待，1000抽中8只以上PU五星呢) 如果连抽歪五星也想计入呢？把中奖率从0.008调成0.01即可。 另外这个表格也可以计算单个卡池的期望值 假如你想抽奥伯龙池，准备了200抽， 想知道这样抽中宝1~5的机率有多少 把机率设为0.008，抽数设为200即可。 工作表如下，请自行另存副本/下载取用。 https://reurl.cc/7jbRk9 另外我的公式有写活，如果觉得中10只太少想计算更多只， 选取最後一行往右拖拉即可。 ----------------------写在最後---------------------- 1. 此表格有理想化的地方， 在於一年内玩家能领的石头不是一开始就能领到，而是依时间增加的。 所以途中抽到一半没石头的情况，本表无法顾及。 但是判断单个卡池的期望值不受此影响，可以放心使用。 2. 此表格可套用於其他游戏卡池，如果该卡池的机率公正的话。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 49.216.235.245 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/FATE_GO/M.1670523358.A.9D1.html 咳咳，放假心情不错那来回应一下好了，怕真的有人相信 在讨论机率的时候，我们是不讨论抽样方式的 因为不同的抽样方式会导致不同的机率结果 擅自想像赌场的出货规则，也是许多赌徒赔得血本无归的主要原因 没有人会在绝望的情况下还加注，大输特输 赌徒会大输特输的原因，往往是因为他自以为掌握了赌场的潜规则 福本伸行的＜赌博堕天录＞有很传神的描述，推荐大家看看 (就是那个给开司一瓶啤酒的漫画续篇啦，不清楚有没有真人版) 所以上面那个说法除非拿拆包程式码证据出来，不然我就当在云了 ---- 而且这个说法如果为真，那就恐怖了 因为这逻辑等价於抽後不放回的机率模型 每一抽的机率都在跳动，绝对不是表定的0.8% (基本上如果有程式这样写，可以试着告告看游戏公司XD) 然後取後不放回的卡池程式码写起来，比取後放回还麻烦 取後放回其实就直接套个多层乱数就好了，一条式子解决 取後不放回要构建一个鸽笼卡池，还要一段时间洗掉重建一个鸽笼卡池 大量的资料更迭也会造成系统多余负担，真的有工程师这样写，我倒想看看 ---- 另外一点是，就算此说法属实，玩家也没有较佳策略 因为营运仍然有许多方式可以解决此问题 首先你要保证，卡池的时间区段，是很现实可以操作的大小 如果时间区段1毫秒，那时间内玩家抽卡次数太少， 就算卡池是鸽笼，带来的机率波动也小 1000个里面有8个中奖但只有一个人抽，正好跟机率一样 如果时间区段1个月，那所有人都在同一区段内抽卡 营运如果做个巨大鸽笼，比如1000亿里面有8亿中奖 那就算1个月过去了有10万个人中奖，对鸽笼的机率影响也是微乎其微 (8亿-10万)/(1000亿-10万) ~ 0.8% 一样没问题 所以假如营运调低换池时间周期，或是调高池的总量 都可以解决问题 用二十一点的说法，第一种就是玩一把就换一副牌，第二种就是用一百副牌的卡堆 都能有效的遏止玩家算牌，＜决战二十一点＞也是老电影了啊 ---- 最後用个小小机率问题，说明何谓抽样方法影响机率，来做个结论吧 这是一题经典题： 在一个圆内任意选一条弦， 这条弦的弦长，大於这个圆的内接等边三角形的边长的机率是多少？ 这个问题根据不同的取样方法，至少有三种以上的答案： 1. 在圆周上随机选两点，此两点连成弦，机率是1/3。 2. 在圆内画一条直径，在直径上选一个点画垂直於直径的线为弦，机率是1/2。 3. 在圆内选一点，画出此点与圆心连线的垂直线为弦，机率是1/4。 这是着名的＜伯特兰悖论＞，可以参见Wiki: https://reurl.cc/6Lb4y6 如果看过葛登能(Martin Gardner)的着作，就会知道好玩的数学其实也是很多的 ※ 编辑: yeez (125.229.0.174 台湾), 12/21/2022 02:53:51