※ 引述《dickson69 (HHHHHHHH)》之铭言： : 请教各位大大第3题 : 小弟对於原富点这类题目一直很不懂 : http://i.imgur.com/8tET8kQ.jpg 首先看看改变Xa,Ya对Ua的影响,和改变Xb,Yb对Ub的影响 (δUa/δXa,δUa/δYa)部分 可由画图得知当2Xa>Ya时为(0,1)而当2Xa<Ya时则为(2,0) (δUb/δXb,δUb/δYb)则=0.5Ub (1/Xb,1/Yb) 发现不论Xb,Yb为多少,Ub偏微分皆为正值 (a)小题: A原富(Xa,Ya)=(50,50)此时2Xa>Ya,偏微分为(0,1), 当A将X小量赠与B时,A的效用不减少,却可以增加B的效用,显然这不是有效率的分配点 (ps. 直到X赠与量达25时,B效用最大,(Xb,Yb)=(75,25), 此时B不论赠与A X或Y皆会减损B效用,而不会增加A效用) (b)小题: 不论如何交易,Xa+Xb=Ya+Yb=100, 而由前小题可知,只要2Xa≠Ya,A皆可透过赠与B较大的那一项增加B效用而不减少自己效用 故所有Pareto均衡点都落在2Xa=Ya线上, 则(Xa,Ya,Xb,Yb)=(Xa,2Xa,100-Xa,100-2Xa)又这些点都必须大於0,得Xa在0到50间 (c)小题: 来个非典型解法直接套用价格概念好了,令X价格Px,Y价格Py 均衡时A每花Px可以买得δUa/δXa效用,花Py可以买得δUa/δXb效用 则1/Px δUa/δXa = 1/Py δUa/δYa套入函数 则当2Xa>Ya时为Px/Py=0而当2Xa<Ya时则为Px/Py=无限大 当2Xa=Ya时,Px/Py可为任意数 又同理对B有1/Px δUb/δXb = 1/Py δUb/δYb套入实际Ub函数得Px Xb = Py Yb 假定B交易後X,Y改变量分别为Tx,Ty 交易过程A,B都不想赔钱,所以Px Tx + Py Ty=0 .....(1) 又交易後(Xa,Ya,Xb,Yb)=(50-Tx,50-Ty,50+Tx,50+Ty) B此时Px(50+Tx) = Py(50+Ty) .....(2) A此时须2Xa=Ya则2(50-Tx)=(50-Ty)则Ty=2(Tx-25).....(3) 由(1)(2)得TxTy+25Tx+25Ty=0再将(3)代入得 2Tx^2+25Tx-1250=0 得Tx=19.519或-32.019 则(Xa,Ya,Xb,Yb)=(30.48,60.96,69.52,39.04)此时Py/Px=1.7808 (後解-32使Xa=82,Ya>100) 解出来有小数点,若要整数可找附近整数点代看看... (30,60,70,40)时Ua=60,Ub=52.92 (31,62,69,38)时Ua=62,Ub=51.21 其中(31,62,69,38)的Ua+Ub值较大 後记: min(Xa,Ya)这函数想直接用算式处理实在..... 如果所有U对X,Y,Z.....偏微出来的函数具有连续性, 用价格概念较易处理2项以上财货 比方说有X,Y,Z三财货,各自交易量用Tax,Tay,Taz,.....表示 对A来说须 1/Px δUa/δXa = 1/Py δUa/δYa =1/Pz δUa/δZa 代入Xa=(Xa0+Tax),Ya=(Ya0+Tay),Za=(Za0+Taz) 配合Px Tax + Py Tay + Pz Taz=0 可解出Tax,Tay,Taz分别皆为Px,Py,Pz的函数 然後由Tax+Tbx+Tcx=Tay+Tby+Tcy=Taz+Tbz+Tcz=0 解联立可求出Px,Py,Pz比值, 然後求出所有T值与X,Y,Z值 --

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