作者moondark92 (明星黯月)
看板Economics
标题Re: [请益] 经济数学 Envelope Theorem
时间Sun Dec 2 20:09:58 2012
※ 引述《alwelcome (大太阳)》之铭言：
: 一厂商有如下的生产函数
: Q=(KL)^(1/a)
: 式中Q为产量，K为资本数量(每单位价格为r)，L为劳动投入数量(每单位价格为w)。
: 在长期的情况之下，资本与劳动的投入均可以自由调整，故长期的生产成本函数如下
: C(w,r,Q)=lim{wL+rK│KL=Q^a}
: K,L
: (1)请用Lagrange方法，计算长期下的最适资本、最适劳动投入与最小生产成本
a要大於2才有长期最适状况
d(Q-C)=d[(KL)^(1/a)-wL-rK]= ((Q/La)-w)dL+ (Q/(Ka)-r)dK
为使利润最大((Q/La)-w)=0 且 (Q/(Ka)-r)=0
L=Q/(aw) K=Q/(ar) 代回Q=(KL)^(1/a) 则Q=Q^(2/a)/(a^2 r w)^(1/a)
Q^((a-2)/a)=(a^2 r w)^(-1/a) 则 Q=(a^2 r w)^(-1/(a-2))
K=Q/(ar)= a^(-a/(a-2)) r ^(-(a-1)/(a-2)) w^(-1/(a-2))
L=Q/(aw)= a^(-a/(a-2)) w ^(-(a-1)/(a-2)) r^(-1/(a-2))
C=wL+rK= 2Q/a= 2 a^(-a/(a-2)) r ^(-1/(a-2)) w^(-1/(a-2))
: (2)假设短期时资本无法调整，请写出短期之下的生产成本函数
Q=(KL)^(1/a)且K固定则L=Q^a/K
C=wL+rK= wQ^a/K + rK
: (3)请计算出长期之下的边际生产成本函数
dQ=d[(KL)^(1/a)]= (Q/(La))dL+ (Q/(Ka)dK
dC=wdL+rdK
等Q线上 Q/(La)/w=Q/(Ka)/r 时有最小成本
则令t=wL=rK 则Q=(t^2/rw)^(1/a) 且 C=2t= 2(rwQ^a)^0.5
: (4)请计算出短期之下的边际生产成本函数，并说明它在何种情况之下，会等於长期之
: 下的边际生产成本函数
短期之下的边际生产成本函数:
C= wQ^a/K + rK 则 dC/dQ = waQ^(a-1)/K
长期下边际生产成本函数
C= 2(rwQ^a)^0.5 则dC/dQ = a(rw)^0.5 Q^((a-2)/2)
waQ^(a-1)/K =a(rw)^0.5 Q^((a-2)/2)
Q^(0.5a)=(r/w)^0.5 K 则 Q= (r/w K^2)^(1/a)时会有相等
或者说 KL=Q^a=(r/w) K^2, 即rK=wL时二者会相等
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◆ From: 123.192.254.72
1F：推 alwelcome:感谢M大帮解答 谢谢^^ 12/02 21:40