作者washburn (Back to school.)
看板Economics
标题Re: [请益] GLS Efficiency
时间Tue Oct 26 10:49:05 2010
Let Omega^{-1} = P'P, in which P is invertible.
Let Z = P'^{-1} X.
var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
= X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
= X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
= X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.
Q.E.D.
※ 引述《navarra (Maestoso)》之铭言：
: 在线性回归模型 y=Xβ+u 中，若 E(u|X)=0，X 也 full rank，
: 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity)，
: 则此时 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X)，
: 而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
: （此处的 ' 表示矩阵转置，inv 表示反矩阵）
: 为证明此种情况下，GLS 估计式比 OLS 估计式更具效率，
: 我必须证明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS)，
: 也就是上述两个矩阵相减至少是一个 positive semidefinite matrix
: 现在的问题是：OLS 的部分有一个 (X'ΩX)，GLS 的部分则是 inv(X'inv(Ω)X)
: 我似乎无法找到两者结构的共通处以进一步化简，因为 X 不是 square matrix
: 试了很久也无法将两者相减的矩阵写出一个类似 a'Ma>=0 的型式
: 不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick？谢谢
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无异曲线在无异个什麽鬼
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◆ From: 165.91.15.55
※ 编辑: washburn 来自: 165.91.15.55 (10/26 10:50)
1F：推 letibe:push! 10/26 17:05
2F：推 goodcar:我也推 让我怀念起念Greene的硕一岁月...XD 10/26 19:49
3F：→ washburn:我不太确定需不需要 transpose, 不过想法是这样. 10/26 23:49