※ 引述《ninmit (silent all the years)》之铭言： : 关於连续 (continuity) , 看了很久还是不懂, 所以想请教各位先进. : 在 Jehle and Reny (p.8, 2001), 定义 continuity 为 : For all x belongs to R(n)+, the "at least as good as" set >= (x), and : the "no better than" set <=(x), are closed in R(n)+. : 然後, 在 Varian (p.95, 1992) 定义则是 : For all y in X, the sets {x:x>=y} and {x:x<=y} are closed sets. : It follows that {x:x>y} and {x:x<y} are open sets. : 在 Open set 和 Closed set 方面我都懂. 我的问题是: : 为什麽两个 closed set 就会形成连续? : 这是否在说明: 以 Jehle and Reny 的图 1.2 (p.9) 来说明, 因为 x 是 better set 和 : worse set 的交集, 然後 better set 和 worse set 都是 closed, 所以 x 所形成的集合 : 是连续??!! 我想你要问的是为什麽要这样定义吧 我们起始关心的是偏好，不是实数，但偏好难以操作，所以想把它透过效用函数 转成实数，而且希望这个效用函数有好的函数上的性质，如连续! 那就需要对偏好做一些假设，希望他对应的效用函数会有连续的性质 (1) 当{x:x>=y}是closed，表示对应效用函数会有上连续upper-semicontinuous(usc) (2) 当{x:x<=y}是closed，表示对应效用函数会有下连续lower-semicontinuous(ulc) 两个加起来，就有连续效用函数了（前提是偏好要有自反性、递移、完整) 稍微解释一下， u(.)在x usc 的意思是 对任意ε>0 都存在一半径为r的开集N(x,r) 使得 u(y)<u(x)+ε对所有y属於N(x,r)^X ^是交集符号喔 u(.)在x lsc 的意思是 对任意ε>0 都存在一半径为r的开集N(x,r) 使得 u(y)>u(x)-ε对所有y属於N(x,r)^X (1)的说明： 假设{x:x>=y}是closed，以及u在某个点x上不是usc 那麽存在ε，对任意r，都存在y属於N(x,r)^X 使得 u(x)+ε<=u(y) 把r设成1/n 并把这些y取成一个序列yn，那麽这个序列的极限就会是x 因为{x:x>=y}是closed，所以x满足u(x)+ε<=u(x) 矛盾! 就知道{x:x>=y}保证u(.)上连续 (2)也一样 usc + lsc 保证连续 应该不用解释吧 --

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