Hoy et al. 2nd ed. (2001) 4.3 提到 intermediate value theorem (ivt) 时, 在 p.144~148 特别提到 ivt 保证了许多经济模型的均衡存在. 我个人读到 ivt 也不是第一次了, 但从来没有想过 ivt 保证了均衡成立, 读到此处, 真是令人拍案叫绝, 颇有茅塞顿开之感. 有一个我个人认为可以供各位板友思考之处: Hoy et al. (2001) 在 p.117 的 def. 4.3 和 4.4 定义 continuity, 兹抄录 def. 4.4 如下: A function f(x), which is defined on an open interval including the point x = a, is continuous at that point if there is some delta > 0 such that | f(x) - f(a) | < epsilon, whenever | x - a | < delta for any epsilon > 0. 其中 "which is defined on an open interval including the point x = a" 看似多余, 但若拿掉这个前提 (例如, Rudin (1976) 的 p.85 并未 要求 f(x) 定义在 open interval), 那麽 f(x) 可以定义在一个包括数个 isolated points 的集合之上, 而不违背 continuity 的性质 (Rudin 的 p.86 有较详细的说明). 若不要求 f 的 domain 为 open interval, ivt 的前提: f(x) is a continuous function on the closed interval [a, b] and f(a) ~= f(b) 就显得更为重要. 因为一个定义在许多 isolated points 上的函数可以既 是连续的, 又使得 ivt 不成立. 草草翻阅 Hoy et al., 由於自己读书不求甚解, 思索许久而无所得, 重新细读才发现自己浪费了不少时间在想一个定义不清的问题. 就放在板 上供板友们参考吧! -- http://tonyy271828.spaces.live.com/ --

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