本周所要讨论的 Hoy et al. 2nd ed. (2001) 的 chap.2~3, 属於 introduction and fundamentals, 本来我认为这个部分可能无法引起板 友们的兴趣, 不过看到 ninmit 兄的心得及板友的推文, 似乎大家对这个 部分已经产生了不少共鸣, 感动莫名. 由於 Hoy et al. 主要讨论 point sets 在 Ｒ^N 空间中的性质, 我 在阅读时主要配合 Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. (1976) 阅读. 由於实数系中集合的概念比较单纯, Hoy et al. 又花了比较多的文字阐述抽象的数学性质, 在阅读 Rudin 时, Hoy et al. 的确起了帮助理解的作用; 而 Hoy et al. 透过文字说明的部分, Rudin 所提供的较严格的数学定义, 也更能帮助我掌握其内涵. Hot et al. 在 p.30 的 Thm. 2,5 陈述了 Ｒ 的 completeness property: Every nonempty subset of Ｒ that has an upper (lower) bound has a supremum (infimum) in Ｒ. 我在阅读 Hoy et al. 时, 很难掌握其意义. 为什麽 least upper bound property 可以保证 Ｒ 的 complete? 关於这点, Rudin 在 p.8 的 Thm. 1.19 是这样说的: There exists an ordered field Ｒ which has the least-upper-bound property. Moreover, Ｒ contains Ｑ as a subfield. 并且在 p.17~21 提供了证明, 可供参考. Rudin 在 p.32 的 def. 2.18 为 closed 和 open sets 提供了较严 谨的定义: (d) Ｅ is closed if every limit point of Ｅ is a point of Ｅ. (f) Ｅ is open if every point of Ｅ is an interior point of Ｅ. 在这个部分, Hoy et al. 在 p.35 针对 boundary point 和 interior point 提供了较详细的文字说明: It is clearly true of a boundary point such as b that every interval around it, however small, must contain points that are in [a, b], and points that are not. In the case of an interior point, on the other hand, it will always be possible to find an interval around it that is entirely in [a, b]. 可说为 Rudin 提供了一个具体的范例. Hoy et al. 在 p.35 对 compact 的定义是比较简单的: An interval that is both closed and bounded is called compact. 关於这个部分, Rudin 的定义就比较严格, 在 Rudin p.36 的 def. 2.31: A subset Ｋ of a metric space Ｘ is said to be compact if every open cover of Ｋ contains a finite subcover. 当然 Rudin 在 p.40 所介绍的 Heine-Borel theorem 也说明了在 Ｒ^N 空间中 closed and bounded 和 compact 是相同的, 不过我想我们在阅 读时, 如果稍微了解 compact 的定义, 对未来理解更艰深的内容可能也 会有些帮助. Hoy et al. 在 2.4 定义了函数的 convex, concave, quasiconvex 和 quasiconcave, 我在读 Varian 时没有搞清楚, 现在终於稍微了解它 背後的意思, 真是欣喜若狂. -- http://tonyy271828.spaces.live.com/ --

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