作者washburn (Just a game)
看板Economics
标题[请益] Walrasian budget set 的 Convexity 问题
时间Tue Jan 22 00:16:38 2008
为了搞懂消费者效用函数的一阶偏微分与主观机率的关系，我重读 Mas-Colell,
Whinston & Green 的 Microeconomic Theory (1995)，结果在第二章谈 consumer
choice 的地方发现了这个问题。
假设商品选择的数目（注意：非个别商品的数量！）有限，仅存在 L 种商品，
可能的商品组合可以写成：
Commodity vector：x = [x1, ..., xL]' belongs to LR+
（LR+ 即 R^L_+，如果你习惯 TeX 的表示法），
则消费组合可以写作：
Consumption set：X = LR+ = {x belongs to LR: xl >= 0 for l = 1, ..., L}。
其中，LR+是一个 convex 集合，即当 x belongs to LR+、x' belongs to LR+，
x'' = alpha*x + (1-alpha)*x' belongs to LR+。
然後在 principle of completeness，即上述 L 种商品在市场以公开价格交易，
价格可以表示为：
Price vector：p = [p1, …, pL]' belongs to LR+；
以及 price-taking assumption之下，再假设消费者的财富为 w，所谓 Walrasian
budget set，是指个别消费者的预算限制为：
Walrasian budget set：B {p,w} = {x belongs to LR: p*x <= w}。
而 Walrasian budget set 也是 convex，MWG 是这样写的：
... the convexity of B {p,w} depends on the convexity of the consumption
set LR+. With a more general consumption set X, B {p,w} will be convex as
long as X is.
请问，为什麽在 X 为 convex 时，B {p,w} 也是 convex？
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