作者hgt (皇元界朝)
看板DummyHistory
标题[创作] 李冶数学难题
时间Sat Dec 10 15:22:32 2022
李冶是金末元初的数学家，最着名的成就便是天元术，据说可解高次方程式。
相传1232年蒙古军围攻汴京时，他曾上书金朝廷，说可以出一道数学难题，
只要蒙古帝国方面能解出来，就给予大量岁币，如若不能，就要撤围，退兵
三十里。
当然，别说蒙古方是不可能接受，连金哀宗也觉得不可能成功，便婉拒此
要求。
据说难题如下:
1+1/Y+1/(Y^2)+1/(Y^3)+1/(Y^4)+1/(Y^5)+1/(Y^6)+1/(Y^7)+1/(Y^8)= 0
求 [4x(Y^12)]^3 = K =??
当然，里面的"Y"是指天元术里的"天元"，就是未知数的意思。
当初李冶的要求是，能解出"K"值，就给蒙古帝国"K"万两银，不能的话，
就要撤围退兵。
有没有人知道这题的答案???
或是有人知道如何解这题???
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"我现在没时间对付这些叛徒，他们终将遭受惩罚，根据乌克兰军法纪律第48条，
未决定祖国是哪里的军人，已经违背了他们对乌克兰人民做出的保家卫国效忠
誓言，他们的自由与民主，将无庸置疑地遭到剥夺，墙头草般的将领，不属於这里!"
--弗拉迪米尔·泽伦斯基, 2022
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1F：推 shihpoyen: 看起来能拆成[1+1/Y+1/(Y^2)][1+1/(Y^3)+1/(Y^6)]=0 12/10 15:41
2F：→ shihpoyen: 所以Y的8个根可写成exp(i*PI*y) y=2/3、2/9、8/9、14/9 12/10 15:54
3F：→ shihpoyen: 、-2/3、-2/9、-8/9、-14/9 12/10 15:55
4F：→ shihpoyen: K=[4*(Y^12)]^3=64*(Y^36)=64*1=64 12/10 15:57
喔!!! 这麽简单就解出罗!!!
不过Y^36=1 是怎麽算的???
看不懂!!!
※ 编辑: hgt (123.195.125.232 台湾), 12/10/2022 16:02:07
5F：→ shihpoyen: 不过那年代没有虚数的概念 所以我猜他多半没解出Y 而是 12/10 16:01
6F：→ shihpoyen: 解出Y^3的其中一个可能值是1 12/10 16:02
7F：推 shihpoyen: Y=exp(i*PI*y) 所以Y^36=exp(i*PI*36*y) 36*y分别等於 12/10 16:06
8F：→ shihpoyen: 24、8、32、56、-24、-8、-32、-56 皆为偶数 所以Y会是 12/10 16:09
9F：→ shihpoyen: exp(i*PI*2)=1的整数次方 也就是1 12/10 16:10
OK，原来是尤拉公式!!!
原来尤拉公式可以解高次方程??
工数有上过???
没印象了XD
※ 编辑: hgt (123.195.125.232 台湾), 12/10/2022 16:26:59
10F：→ shihpoyen: 这题能解是因为可以拆成两个变形的一元二次方程式相乘 12/10 16:36
11F：→ shihpoyen: 只是因为解出来是复数 所以用尤拉公式比较方便表示 12/10 16:37
哈哈~ 感谢 我觉得很有趣~
我可以给你1000P币表示感谢~
不过我还没给过别人P币，我看看怎麽弄~
刚给你税後P币1000，应该没弄错，如果没收到，你再私信我~
※ 编辑: hgt (123.195.125.232 台湾), 12/10/2022 17:12:45
※ 编辑: hgt (123.195.125.232 台湾), 12/10/2022 17:19:10
12F：推 daze: 其实把两端同乘(1-1/Y)，就可以得到1-(1/Y^9) = 0，1/Y^9=1 12/10 17:19
13F：→ daze: 则1/Y的九个根就会落在复数单位圆 2*n*Pi/9 n=0、1、....、8 12/10 17:22
14F：→ daze: 的9个点上。n=0，即1/Y=1 这个根是同乘(1-1/Y)时虚增的，要 12/10 17:23
15F：→ daze: 去掉，剩下的8个根才是真的根。 12/10 17:24
这个解很系统，我也给你1000P币~
※ 编辑: hgt (123.195.125.232 台湾), 12/10/2022 17:25:29
16F：推 shihpoyen: 收到了 感谢 12/10 17:26
17F：→ daze: 但由於复数单位圆上的所有根都会满足Y^9=1，所以Y^36也会等 12/10 17:26
18F：→ daze: 於1，不必把根分别实际写出来也没差。 12/10 17:27
19F：推 shihpoyen: d大的解法满漂亮的 12/10 17:30
对，非常简单的解法~
※ 编辑: hgt (123.195.125.232 台湾), 12/10/2022 17:32:28
20F：推 moslaa: 有趣历史故事 12/11 09:36
21F：推 leptoneta: 秀才遇到兵 12/11 12:08
22F：推 Segal: 推d大解法。蛮好奇当年李冶做题的思路是怎麽想的？ 12/11 16:07
23F：推 TETUO: 我以为到了数学版@@，李治出数学题考蒙古人也太有趣了 12/11 18:30
24F：推 owenbai: 用matlab 算y有八个解 12/11 22:39
25F：→ owenbai: 全是复数解 12/11 22:40
26F：→ owenbai: 每个解丢公式，算出来是正负64，所以要给蒙古64万 12/11 22:40
27F：→ hgt: 应该不会有负值，就是64才对 12/11 23:32