※ 引述《saltlake (SaltLake)》之铭言： : 本来正在查书打算整理关於人口发展的简单的数学模式 现在看看省起来好了 : 人口发展跟经济发展有一定的关联 因此在推论某国或某区域或全球经济发展 : 状况的时候 如果有人说可以完全不管人口随时间的动态变化的影响 那我只能 帮你找了一个还凑合的中文材料﹐下载地址是﹕ http://www.cdpc.edu.cn/jpkc/gaodengshuxue/wszy/zhuxuekejian/1/jm2.doc 原文档里有公式﹐我把公式和解省略掉的论述部分整理一下贴在下面﹐ 要仔细了解﹐还是要公式﹐看下面只可以有一个人口模型的入门概念 常微分方程在数学建模中的应用 以下介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由於资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人 口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口 的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果 一开始就把所有因素都考虑进去﹐则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的 模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766-1834 ）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常 数,於1789年在《人口原理》一书中提出了闻名於世的马尔萨斯人口模型,他的基本假 设是﹕在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时 间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为a ,在此假设下,推导并求解人口随时间 变化的数学模型. （解法略 ） 马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 （公式略） , 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验﹕据估计1961年地球上的人口总数为3.06*10^9 ,而在以後7年中, 人口总数以每年2%的速度增长, (计算略) 这个公式非常准确地反映了在1700-1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）﹒ 但是,後来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有 很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思 议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆 地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是 非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic模型）─（np:这是一个非线性模型﹐参数合适情况会有混沌解） 马尔萨斯模型为什麽不能预测未来的人口呢﹖这主要是地 球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素 对人口增长的限制作用越来越显着,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常 数的话,那麽当人口增加到一定数量以後,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此 ,应对马尔萨斯模型中关於净增长率为常数的假设进行修改. （np﹕下面的Noo 里的oo 代表无穷大符号﹐键盘打不出来﹐用oo代替） 1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数Noo ,用来表示自然环境条件 所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食 物就越多,从而Noo就越大）,并假设将增长率等於r(1-N(t)/Noo) ,即净增长率随着N(t) 的增加而减小,当N(t)→Noo 时,净增长率趋於零,按此假定可以建立人口预测模型. N dN/dt = r (1- --)N No 解法略 分析略 在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点後,生长的速率逐渐变小,并 且迟早会达到零,这是减速生长期﹔ （4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在 1930年以前都非常吻合,自从1930年以後,误差癒来癒大,一个明显的原因是在20世纪 60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺 点之一是 不易确定Noo,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, Noo的值也就越大﹔ (5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计, ,又当人口总数为 时,人 口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 （计算过程略） 即世界人口总数极限值近100亿. 值得说明的是﹕人也是一种生物,因此,上面关於人口模型的讨论,原则上也可以用於在 自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着 广泛的应用. (np﹕我之前5327里写过的公式其实就是Logistic方程的一个变形﹐这个方程一般也会 叫虫口方程﹐逻辑斯蒂方程等等） (现在把数学公式基本删光之後﹐我个人看起来更糊涂了。) --

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