※ 引述《panb2a (^^)》之铭言： : 听说这两题分别是今年建中和附中第二次段考的题目 想了很久还是没解出来 : 第二题题目忘记了XD 所以来问第一题 : 1. 直角三角形ABC, C是直角 : 略图如下 B : /| : / | : A /__|C : 从A点沿着AB线段方向延长到D使得 AD:AB = 1:4 : 然後在线段CD上取一点E使得 DE = k* AE, k 是某一常数 : 且角BAC = 角DAE = θ，若tanθ 和 k 都是正整数，则k = ? 答:13 : 想法：关键在於tanθ要如何表示出来，我尝试在三角形ADE用θ列余弦定理的式子 : 但是无法有效整理出好看的式子 : 也尝试把线段AE延长制造一个跟三角形ABC的相似形 : 也得不到好的算式 因为无法有效把AD:AB = 1:4 DE = k* AE 两个条件都用上 : 如果延长AE线段，根据对顶角可以看到线段AB是一个角平分线 : 但是也无法使用角平分线性质@@ : 请问还有别的想法吗 囧...不好意思 因为自己没算出什麽好结果　 : 　所以都是描述没算式 请见谅 __ __ 延长CA 做D对AC之投影点F 则三角形DAF~三角形CAB __ __ 因此AF=(1/4)AC....(1) 又角DAE=角DAF 故AD为三角形CAE之外角平分线 __ __ __ __ __ __ 得AC:AE=CD:DE => CD=kAC...(2) __ 令AC=m ,tanθ=t __ __ 则AF=(1/4)m，DF=(1/4)m*tanθ=(1/4)mt __ __ __ __ CF=CA+AF=(5/4)m， CD=km 由毕氏定理得(km)^2=[(5/4)m]^2+[(1/4)mt]^2 =>k^2=25/16 + (1/16)t^2 =>16k^2=25+t^2 =>16k^2-t^2=25 =>(4k+t)(4k-t)=25 算出来并不是正整数= = 题目没错吗?? 他应该是想要这麽考吧?? --

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